1. Прежде чем приступать к нашему курсу лекций, оцените свои знания векторной и линейной алгебры - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Рабочая учебная программа по дисциплине 3 651.69kb.
Решение систем линейных уравнений Классы задач линейной алгебры 1 66.12kb.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Элементы векторной... 4 741.35kb.
Программа курса "Линейная алгебра" 1 45.3kb.
Использование байесовского подхода в математическом моделировании... 1 40.76kb.
Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И 3 992.09kb.
Лабораторная работа 1 Методы решения задач линейной алгебры 1 32.01kb.
Курс лекций по специальному курсу «Компьютерные системы» 8 2194.15kb.
Контрольная работа №1 Элементы векторной алгебры и аналитической... 1 75.32kb.
М. В. Ломоносов видел причину огромных успехов в естествознании,... 1 134.78kb.
Алгебраические системы Операции и алгебры. N 1 194.95kb.
2. Электростатическая теорема Гаусса. Пусть имеется вектор А 1 25.31kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

1. Прежде чем приступать к нашему курсу лекций, оцените свои знания векторной и линейной - страница №1/2

Введение

Основная проблема, с которой сталкиваются студенты при изучении векторного и тензорного анализа, состоит в том, что они еще не успели в полной мере освоить математический анализ и теорию дифференциальных уравнений, так как эти предметы читаются либо параллельно, либо не читаются еще совсем. Зачастую это приводит к формальному заучиванию основных понятий и определений без глубокого понимания их связи с физикой. К сожалению, полностью избавиться от этого недостатка удается только по мере приобретения студентами знаний и опыта в процессе обучения. Учитывая это, мы хотим дать несколько полезных советов читателям, решившим фундаментально освоить основы векторного и тензорного исчисления.

1. Прежде чем приступать к нашему курсу лекций, оцените свои знания векторной и линейной алгебры. Если они окажутся недостаточными, повторите или изучите основные разделы, где идет речь об алгебраических операциях с векторами и вводется декартова прямоугольная система координат. Поверьте, это крайне необходимо для успешного усвоения предлагаемого курса лекций.

2. Вторым важным условием, необходимым для достижения положительного результата, является посещение лекций и их систематическое конспектирование. Это связано с тем, что рекомендуемая литература не совсем соответствует программе этого курса и ориентирована на математиков, следовательно, перегружена излишними, с точки зрения физика, математическими выкладками. При повторном чтении конспекта, особенно при подготовке к экзамену, желательно расширить сведения об изучаемом предмете, используя рекомендуемую литературу.

3. Неотъемлемым элементом изучения данного курса лекций являются упражнения к каждой лекции. Они не только позволяют проверить, насколько хорошо вы усвоили материал, но и дают дополнительные сведения о практическом его применении.

4. И еще чисто житейский совет. Не надо отчаиваться или забрасывать изучение векторного и тензорного анализа лишь потому, что в какой-то момент вы перестали что-либо понимать. Следует еще раз сосредоточиться на основных понятиях и определениях и постараться запомнить их хотя бы формально. Применение этих понятий к конкретным физическим задачам поможет вам в дальнейшем окончательно разобраться в том или ином вопросе и успешно пользоваться им на практике.

В заключение хочется благодарить своих коллег по работе Афремова Л. Л., Александрову Н.Я., Бажанского И. И., Гой А. А., Ламаша Б.Е. за внимание к нашему курсу лекций и множество ценных советов при его составлении. Надеемся, что это пособие будет полезным для студентов университетов и других технических вузов и поможет им освоить основы тензорного исчисления в минимально необходимом объеме при минимальных усилиях.

Часть 1. Основы векторного исчисления

Лекция 1 Скалярное поле



1.1. Основные понятия и определения
В физике и математике (и других сферах человеческой деятельности) приходится иметь дело с величинами двух родов: одни из них можно задать числом, другие связаны с понятием о направлении в пространстве и для своего задания требуют уже несколько чисел ( три и больше). Примером первых могут служить такие физические величины, как температура, плотность вещества, масса тела, давление в жидкости и др. Примером вторых - скорость, импульс тела, характеристики электромагнитного и гравитационного полей [1].

Если эти величины меняются в пространстве и времени, то их объединяют общим названием - поле (скалярное, векторное, тензорное).

Рассмотрим наиболее простое понятие скалярного поля. Дадим строгое математическое определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Если в некоторой области пространства D, каждой точке единственным образом ставится в соответствие число , то в области D задано скалярное поле.

Пусть в области D задана Декартова Система Координат (ДСК), тогда точку M можно занумеровать с помощью декартовых координат , а скалярное поле рассматривать как функцию координат.

Реальные скалярные поля часто обладают определенной симметрией, знание которой значительно облегчает изучение их. Для обнаружения этой симметрии вводится понятие Поверхности Равного Уровня (ПРУ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Поверхностью Равного Уровня (ПРУ) скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых

(1.1)

т.е. поверхность, где поле принимает постоянные значения. Задавая различные значения const мы построим семейство ПРУ. Из определения 1.1 следует, что ПРУ не могут пересекаться, в противном случае в точке пересечения однозначность поля нарушается. Однако в обл. D могут существовать особые точки, в которых поле невозможно задать однозначно, поэтому более точно утверждение: во всех точках обл. D, где поле задано однозначно, ПРУ не пересекаются. Физически это означает, что в точках, где поле не определено, расположены источники этого поля (причины, которые его порождают) и основная задача состоит в том, чтобы найти связь между полем и его источниками (записать уравнение поля и решить его). Эта задача выходит за рамки нашего курса. Детально она будет изучена в разделах математической физики.



1.2. Производная по направлению

На практике часто приходится исследовать свойства скалярных полей по заранее выбранным направлениям в пространстве, например, следующим образом.

Пусть требуется установить, как быстро изменяется функция вдоль некоторой линии L (см. рис. 1). Для этого в двух точках M, M L вычислим значение ) и и составим предел следующего отношения:

(1.2)

Здесь - расстояния между рассматриваемыми точками.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Производной скалярного поля в точке M0 по направлению кривой L (сокращенно - производная по направлению), называется предел (1.2), если он существует и не зависит от способа стремления

Из определения 1.3 следует, что производная по направлению (1.2) является функцией не только предельной точки M, но и вектора , задающего направление на кривой L (см. рис. 1.1.).



Z





Y

O

X

Рис. 1.1. Определение производной по направлению.

Рассмотрим кривую L и вектор в ДСК. Линию L зададим в параметрической форме:

, , (1.3)

а вектор - стандартным разложением:

Поскольку - единичный вектор, то.

,,

где -- углы между ортами ДСК и вектором . Окончательно в ДСК будет иметь вид: (1.4)

Если учесть уравнения (1.3), то скалярное поле на кривой L можно рассматривать как сложную функцию параметра : . Воспользуемся формулой вычисления сложной производной: (1.5)

Из рис. 1.1 видно, что, например, . Аналогично для остальных координат: ,

Подставим найденные значения производных в (1.4а) и получим выражение производной по направлению в ДСК:

(1.6)

1.3. Градиент скалярного поля

Преобразуем выражение (1.6) таким образом, чтобы его вид не зависел от выбора системы координат. Для этого введем специальный вектор, имеющий в ДСК следующее представление:



(1.7)

( -- читается "градиент"). Вычислим скалярное произведение векторов (1.4) и (1.7).



Правая часть полученного выражения представляет собой производную по направлению в ДСК (см. фор.(1.6)), тогда в любой система координат имеет место равенство:

(1.8)

Равенство (1.7) позволяет дать физическое толкование и служит определение градиента скалярного поля. В самом деле, выберем направление так, чтобы оно совпадало с вектором и распишем скалярное произведение (1.8) по определению:



где -- угол между вектором и градиентом. Т.к. в нашем случае то , производная по направлению достигает максимального значения и равна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Градиентом скалярного поля называется вектор, который указывает направление наибольшей скорости роста поля и модуль которого в данной точке равен максимальной производной по направлению.

Из определения 1.4. следуют некоторые свойства градиента:

1. Рассмотрим ПРУ для поля (см.1.1) и вычислим производную по касательному направлению к ПРУ. С одной стороны, эта производная равна нулю, с другой –

если то . Таким образом, градиент скалярного поля (если он не равен нулю) всегда ортогонален ПРУ.

2. Докажем свойство линейности для операции градиент скалярного поля. Пусть поле имеет вид , тогда

Используя свойство линейности для производной, получим

Сумму производных по направлению распишем по формуле (1.8), тогда



, окончательно

. Градиент суммы скалярных полей равен сумме градиентов. Не сложно доказать, что для вычисления градиента необходимо пользоваться теми же правилам что и при вычислении производной.

Упражнение 1

1) Построить поверхности равного уровня следующих скалярных полей.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2) Построить линии равного уровня следующих плоских скалярных полей.

a)

b)

c)

3) Найти производные для следующих скалярных полей в точке по направлению к точке .

a)

b)

c)

4) Найти производную скалярного поля в точке параболы по направлению этой кривой.

5) Найти производную скалярного поля в точке на кривой двигаясь против часовой стрелки.

6) Найти производную скалярного поля в точке на линии по направлению внешней нормали к линии в этой точке.

7) Найти производную скалярного поля в точке по направлению окружности:

8) Вычислить производную скалярного поля в точке соответствующей значению параметра по направлению винтовой линии

9) Найти градиенты следующих скалярных полей в точке :

a)

b)

c)

10) Найти градиенты следующих скалярных полей, если и



a)

b)

c)

d)

11) Найти направление и величину наибольшего изменения для следующих скалярных полей в заданных точках :

a)

b)

c)

d)



Лекция 2. Первое уравнение векторного поля

2.1. Основные понятия и определения

Разнообразие физических полей не исчерпывается только скалярными полями. Можно привести множество примеров, когда числовая характеристика поля уже не достаточна для однозначного его определения. В частности, для таких полей как электромагнитное, гравитационное и др. необходимо задать не только число, но и указать направление в каждой точке пространства. Эти поля называются векторными. Дадим строгое математическое определение.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Если в некоторой области пространства D каждой точке M D единственным образом сопоставляется вектор , то в области D задано векторное поле.

Таким образом, физическое понятие векторного поля математически отображается однозначно на множество векторов. Если в области D построить систему координат (например, ДСК) и задать точку M ее координатами , то - вектор-функция в ДСК.

На практике конкретные физические поля во многих случаях обладают той или иной симметрией, для исследования которой удобно использовать геометрическое изображение векторного поля с помощью векторной линии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Векторной линией поля называется кривая в обл. D, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной прямой к этой линии (см. рис. 2.1.)

Z






О Y

X

Рис. 2.1. К определению векторной линии.

Запишем уравнение векторной линии. Пусть поле задано в полярной системе координат. Тогда векторную линию можно рассматривать как годограф радиус-вектора . Вычислим производную от радиус-вектора по параметру . Этот вектор по определению будет касательным к годографу и, следовательно, коллинеарен вектору. Из условия колинеарности имеем:

(2.1.)

дифференциальное уравнение векторных линий в полярной системе координат. В ДСК векторному уравнению (2.1) будут соответствовать три скалярных уравнения:



, , (2.2.)

Решая эту систему обыкновенных дифференциальных уравнений, получим уравнения векторной линии в параметрической форме: .

Не трудно записать уравнениея векторной линии в координатной форме ДСК, исключив время из уравнений (2.2.) по формуле сложной производной:

(2.2а)

Из определения векторного поля следует, что векторные линии не могут пересекаться в точках обл. D, где задано поле. В противном случае в точке пересечения векторной линии поле будет задано неоднозначно. Однако в обл. D существуют особые точки, в которых векторные линии либо возникают, либо исчезают. В этих точках поле становится неопределенным.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Точечным источником (стоком) поля называется особая точка обл. D, где возникает (исчезает) векторная линия.

Нетрудно сообразить, что источник (сток) произвольных размеров всегда можно представить как совокупность точечных.



2.2. Поток векторного поля

Для полного геометрического описания векторных полей необходимо доопределить понятие векторной линии таким образом, чтобы оно отражало не только пространственную ориентацию поля, но и распределения его по величине в обл. D.

Рассмотрим в обл. D малую площадку , перпендикулярную к векторной линии. Обозначим число векторных линий пересекающих эту площадку.





Рис. 2.2. К определению плотности потока векторных линий.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Плотностью векторных линий в обл. D называется предел следующего отношения:

(2.3)

Предположим, что плотность векторных линий прямо пропорциональна величине поля:



(2.4)

Правомерность такого предположения обосновывается тем, что чем ближе расположена точка, в которой рассматривается поле, к источнику, тем данное поле больше по величине и тем плотнее его векторные линии. Если рассматривать произвольную площадку и ввести нормаль к ней, то, как видно из рис.1.3., , где -- угол между векторами и . Тогда из (2.4) имеем:



(2.5)

(Здесь необходимо брать знак "+", если угол и знак "-", если .) Очевидно, что равно числу векторных линий, пересекающих бесконечно малую площадку . Если рассмотреть в обл. D произвольную кусочно-гладкую поверхность S, то число векторных линий пересекающих эту поверхность будет равно:



(2.6)

Рассмотрим в обл. D кусочно-гладкую замкнутую поверхность S (см. рис. 2.3.) и вычислим интеграл следующего вида:



(2.7)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Потоком вектора через замкнутую поверхность S называется поверхностный интеграл вида (2.7).

Здесь - текущая нормаль в каждой

точке поверхности, - распре-

деление векторного поля по поверх-

ности .

Рис. 2.3. Поток векторного поля через змкнутию поверхность

Выясним физический смысл введенного понятия. Для этого замкнутую поверхность S разобьем на множество точек , в которых векторные линии выходят из поверхности и множество точек , в которых векторные линии входят. Тогда легко показать, что


(2.8)

где -- число выходящих, -- число входящих векторных линий. Очевидно, что возможны следующие случаи:

1) Если или , т.е. число выходящих линий больше числа входящих, то внутри замкнутой поверхности имеются не скомпенсированные источники.

2) Если или , т.е. число входящих линий больше числа выходящих, то внутри замкнутой поверхности имеются не скомпенсированные стоки.

3) Если или , т.е. число входящих линий равно числу выходящих, то внутри поверхности отсутствуют источники и стоки, либо они полностью взаимно компенсируют друг друга.

Рассмотренные случаи позволяют сделать важный физический вывод - поток вектора через замкнутую поверхность дает интегральную (суммарную) характеристику наличия источников и стоков внутри этой поверхности. При соответствующем выборе этой характеристики можно предположить, что поток численно равен интегральной мощности источников и стоков:



(2.9).

где -- физическая величина, характеризующая интегральную мощность источников и стоков в объеме . Физический смысл данного утверждения состоит в том, что таким образом удается связать величину , зависящую от распределения векторного поля в пространстве и величину , задающую суммарную мощность источников и стоков, т.е. найти интегральную связь между полем и его источниками и стоками.

Построенное уравнение (2.9) не является локальным, так как оно дает связь между полем и его источниками не в точке, а в некоторой области. Для получения точечной или, как обычно говорят, дифференциальной связи между полем и причинами его порождающими, необходимо ввести новое понятие.

2.3. Дивергенция векторного поля

Пусть задана кусочно-гладкая замкнутая поверхность (см. рис. 3), ограничивающая объем . Вычислим, отнесенный к единице объема, поток векторного поля через эту поверхность. Рассмотрим предел следующего отношения:



(2.10)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Дивергенцией (расходимостью) вектора в точке называется предел отношения (2.10), если он существует и не зависит от выбора первоначальной поверхности и способа стягивания к нулю.

Необходимо сделать следующие замечания [3]:

1) Дивергенция является дифференциальной операцией и представляет собой производную от потока вектора по объему.
(2.11)

2) Выражение дивергенции не должно зависеть от выбора первоначальной поверхности и способа стягивания ее в точку.

3) Дивергенция определена в любой точке области D, где задано поле, независимо от выбора системы координат.

Выясним физический смысл дивергенции. Для этого вернемся к уравнению (2.9) и замечанию 1, из которых следует:



, или окончательно

(2.12)

где -- объемная плотность мощности источников и стоков поляв точке . Отсюда следует:

1) Если в некоторой точке, то в этой точке имеется источник.

2) Если в некоторой точке, то в этой точке имеется сток.

3) Если в некоторой точке, то в этой точке нет ни источника, ни стока.

Уравнение (2.11) называется первым уравнением векторного поля в дифференциальной форме, в то время как уравнение (2.9) -- первым уравнением векторного поля в интегральной форме. Уравнение (2.9) легко представить в форме теоремы Остроградского-Гаусса, проинтегрировав равенство (2.12) по произвольному объему V:



.

Таким образом



(2.13)

2.4. Вычисление дивергенции в ДСК

Введем ДСК и получим выражение дивергенции в этой системе координат. Из определения 2.5 следует, что результат вычисления не должен зависеть от выбора первоначальной поверхности , поэтому в качестве замкнутой поверхности удобно выбрать достаточно малый (в пределе бесконечно малый) прямоугольный параллелепипед (см. рис. 2.4.).



Z Разобъем полную поверхность на сово-

купность граней и обозначим

противоположные грани штрихом, тогда

O Y

X Рис. 2.4. Вычисление дивергенции в ДСК

где - поток вектора через соответствующие противоположные грани параллелепипеда. Вычислим, например, .Очевидно, что на и . На и . Интегралы по поверхностям вычислим по теореме Лагранжа о среднем:

где -- приращение вертикальной компоненты поля при переходе от грани к противоположной - . Аналогичные вычисления справедливы и для оставшихся граней:





Полный поток векторного поля через замкнутую поверхность равен сумме



Подставим это выражение в формулу (2.10) и устремим к нулю:





. Окончательно можно записать:

(2.14)

Формула (2.14) задает выражение дивергенции в ДСК, вид которого зависит от выбора системы координат, в то время как определение (2.10) является инвариантным.

Подведем некоторый итог. С одной стороны, поток вектора через замкнутую поверхность (2.4) зависит от распределения поля по поверхности и равен разности количества выходящих и входящих векторных линий. С другой стороны, эта разность пропорциональна суммарной мощности источников и стоков, заключенных внутри поверхности. Это позволило записать интегральное уравнение, связывающее источники с полем. Чтобы получить дифференциальное уравнение, потребовалось понятие дивергенции (2.10). Таким образом, мы имеем первое уравнение векторного поля в интегральной (2.9) и дифференциальной (2.12) формах. С помощью этих уравнений можно решат как прямую (вычисление функции , описывающей распределение источников и стоков по заданному распределению поля в обл. D), так и обратную задачу (определение поля по известной плотности мощности источников и стоков ). Обратная задача теории поля значительно сложней прямой, так как для ее решения необходимо рассматривать уравнения в частных производных. И все же, основная проблема не в этом. Посмотрим на уравнение (2.12) более внимательно. В ДСК оно имеет вид:

(2.15)

Мы имеем одно скалярное уравнение, в то время как неизвестных функций три: т.е. количество неизвестных больше числа уравнений. Таким образом, мы приходим к неутешительному выводу о том, что обратная задача теории поля при наличии только одного уравнения (2.15), в общем случае, не имеет однозначного решения. Для нас это означает, что нам рано останавливаться на достигнутом результате. Необходимо строить еще дополнительные уравнения, которые бы связали поле с порождающими его причинами. Это и будет темой следующей лекции.



Упражнение 2

1) Построить векторные линии следующих векторных полей:

a)

b) где

c)

d) где

e) , где

2) Построить векторные линии магнитного поля бесконечного проводника с током, заданного формулой: где - вектор тока, - радиус-вектор точки ,



-расстояния от оси проводника до точки .

3) Вычислить поток векторного поля - радиус-вектор через прямой круговой цилиндр высотой h, радиусом основания R и осью симметрии Oz.

4) Найти поток векторного поля через сферу радиуса R с центром в начале координат.

5) Используя теорему Остроградского - Гаусса, вычислить потоки векторных полей через указанную замкнутую поверхность S.

a)

b)

c)

6) Найти дивергенцию следующих векторных полей в ДСК:

a)

b)

c)

7) Вычислить дивергенцию следующих векторных полей, используя ее свойства:

a)

b)

c)

d)

e)
Лекция 3

3.1.Вихревые векторные поля

Прежде, чем приступить к построению второго уравнения векторного поля, необходимо более детально разобраться в существе проблемы. Почему возникла недоопределенность обратной задачи? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, как строилось первое уравнение (2.14). Исходным было понятие потока вектора через замкнутую поверхность. Для этого в каждой точке поверхности строилось скалярное произведение вида , где - ортогональная проекция вектора к поверхности S. Из линейной алгебры известно, что любой вектор, заданный на поверхности, всегда можно разложить на ортогональную и тангенциальную компоненты согласно правилу параллелограмма: . До сих пор мы рассматривали только нормальную компоненту и полностью игнорировали тангенциальную. Это привело к тому, что вектор из полученного уравнения однозначно не определяется. Таким образом, чтобы разрешить обратную задачу теории поля, необходимо, образно говоря, задействовать тангенциальную проекцию вектора .

Так выглядит проблема с математической точки зрения. Посмотрим на нее с точки зрения физики. Все наши прежние рассуждения будут иметь смысл, если в области D существуют точки, где векторные линии исчезают или возникают, т.е. имеются источники или стоки поля. Поток вектора через замкнутую поверхность в этом случае не равен нулю и уравнение (2.12) не вырождается в нулевое тождество.

Предположим, что в природе существуют поля, имеющие замкнутые векторные линии. В этом случае предыдущая теория перестает работать, т.к. уравнения (2.9) и (2.12) вырождаются в нулевое тождество. Теперь становится понятной возникшая проблема с решением обратной задачи. До сих пор мы рассматривали векторные поля чисто источниковые и не учитывали возможность существования векторных полей с замкнутыми векторными линиями. О том, что такие поля существуют, нам говорит опыт. В частности, хорошо известно, что вокруг прямолинейного проводника с током всегда можно обнаружить магнитное поле, векторные линии которого - концентрические окружности. Эти предварительные рассуждения подсказывают нам дальнейший путь построения уравнений векторного поля.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Векторные поля с замкнутыми векторными линиями называются вихревыми (соленоидальными).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Причины, порождающие вихревые поля называются вихрями.

3.2.Ротор векторного поля

Рассмотрим снова замкнутую кусочно-гладкую поверхность . В каждой точке этой поверхности восстановим внешнюю нормаль и построим векторное произведение . Из определения векторного произведения следует, что вектор совпадает с касательным (тангенциальным) вектором к поверхности . По аналогии с потоком вектора вычислим поверхностный интеграл следующего вида:



(3.1)

и предположим, что он дает информацию о наличии внутри поверхности причин, порождающих векторные поля с замкнутыми векторными линиями. В дальнейшем, чтобы использовать общепринятую в теории поля терминологию, будем называть эти причины вихрями. К сожалению, в литературе нет общепринятого определения вихря, и даже трактовка этого понятия у некоторых авторов различна. Мы будем понимать под вихрями причину, другими словами, особые точки в области D, в которых находятся "источники", создающие поля с замкнутыми векторными линиями. Такие векторные поля называются вихревыми. Следует иметь в виду, что в данном контексте слово "источники" имеет совсем иной смысл, чем в определении 2.3. В качестве примера можно рассмотреть электромагнитное поле, где источниками и стоками являются положительные и отрицательные заряды, а вихрями - электрические токи.

Предположим, что интеграл (3.1) дает интегральную характеристику вихрей внутри поверхности . Чтобы получить дифференциальную (точечную) связь между полем и его вихрями, снова воспользуемся предельным переходом и введем следующее понятие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Ротором вектора называется предел следующего вида:

(3.2)

если он существует и не зависит от выбора первоначальной поверхности и способа стремления к нулю. Из этого определения видно, что есть некоторая дифференциальная

операция от вектора. Вид этой операции в некоторой системе координат нам предстоит еще определить, а сейчас попытаемся выяснить ее физический смысл. Для этого рассмотрим замкнутую поверхность в виде малого кругового цилиндра высотой h и полной поверхностью (см. рис. 3.1.). В точке М построим и фиксированную

нормаль . Вычислим скалярное произве-

М L дение в точке М. Здесь - теку-

щая нормаль, заданная в точках на поверх-

ности цилиндра.

Рис. 3.1. Вычисление проекции ротора на нормаль



Полную поверхность разобьем на боковую , верхнее и нижнее основания. Тогда, На верхнем и нижнем основаниях нормали и коллинеарны, следовательно, смешанное произведение . Таким образом, остается вычислить только интеграл по боковой поверхности

цилиндра: . На боковой поверхности, и , где - вектор касательный к боковой поверхности цилиндра. При он становится касательным к окружности L. В таком случае имеем: . Объем цилиндра равен , элемент боковой поверхности - элемент дуги окружности L. Из определения 3.1. следует, что предел (3.2) не зависит от способа стремления к нулю, поэтому устремим сначала , а затем в точку M.

Тогда, . Интеграл по поверхности разобьем на повторные интегралы по и по : . Интеграл по вычислим, воспользовавшись теоремой Лагранжа о среднем: . Здесь скалярное произведение вычисляется в некоторой точке . В пределе при точка N попадает на контур L. Окончательно, (3.3)

Если точку M рассматривать как произвольную точку обл. D, то предел (3.3) можно получить в любой точке, где задано поле . Интеграл в правой части выражения (3.3) играет важную роль в теории поля и называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру L.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру L

называется криволинейный интеграл вида . (3.4)

Очевидно, что предел (3.3) есть циркуляция векторного поля, приходящаяся на единицу площади, т.е. поверхностная плотность циркуляции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Поверхностной плотностью циркуляции вектора в точке M

называется предел следующего вида (3.5)

если он существует и не зависит от выбора первоначальной поверхности и способа стягивания ее в точку.

Если внимательно проследить за выводом уравнения (3.3), то становится ясно, что плотность циркуляции является функцией точки M и зависит от ориентации нормали в этой точке к первоначально выбранной поверхности . Уравнение (3.3), с учетом уравнения (3.5), принимает следующий вид . (3.6)



3.3. Второе уравнение векторного поля

Для лучшего понимания дальнейшей теории полезно рассмотреть физический пример. Пусть по тонкому прямолинейному проводнику течет постоянный ток . Известно, что вокруг этого проводника существует магнитное поле , силовые линии которого представляют собой концентрические окружности (см. рис 3.2.). Вычислим циркуляцию поля по контуру L,



выбрав для простоты в качестве L окруж-

ность радиуса нормаль которой имеет угол

с направлением тока (см. рис. 3.2.)

Рис. 3.2. Циркуляция магнитного поля прямого тока.

Тогда т.к. . С другой стороны величина поля для

прямого проводника задается формулой Ампера [4] , а направление указано на рис. 3.2. После подстановки получим



.

Несмотря на простоту полученного результата, в нем заложен глубокий физический смысл. С одной стороны, циркуляция вектора зависит от распределения векторного поля на кривой L, с другой стороны, мы показали на примере, что она равна проекции полного тока на нормаль к площадке, ограниченную контуром L. Из физики известно, что ток следует отождествить с суммарной мощностью вихрей. Таким образом, уравнение дает интегральную связь поля с вихрями. Этот частный вывод обобщим на все случаи жизни, высказав следующую гипотезу № 2:



циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L всегда пропорциональна (в соответствующей системе единиц равна) проекции на интегральной (полной) мощности вихрей, пересекающих поверхность, ограниченную контуром L.

Запишем это утверждение в виде следующего уравнения:



. (3.7)

Здесь - число, характеризующее полную мощность вихрей, пересекающих площадку в направлении , например, для электромагнитного поля - проекция полного тока, пересекающего поверхность, на нормаль к этой поверхности.

Воспользуемся уравнением (3.6) и определением 3.3. для построения еще одного уравнения векторного поля:

где - поверхностная плотность мощности вихря в точке M по направлению нормали . Тогда из уравнения (3.7) следует



или (3.8)

Это и есть искомое второе уравнение векторного поля в дифференциальной форме. Прежде чем его анализировать, получим ряд полезных соотношений. Для этого выберем произвольную кусочно-гладкую незамкнутую поверхность S и проинтегрируем по ней уравнение (3.8):



или, воспользовавшись (3.4) (3.9)

Формула (3.9) называется вторым уравнением векторного поля в интегральной форме, в математике она известна как формула Остроградского-Стокса. И еще, рассмотрим произвольную кусочно-гладкую замкнутую поверхность S и будем стягивать ее в точку M. Вычислим приращение (3.1) при изменении поверхности S:

. Объемная плотность приращения этого вектора равна

, или (3.10)

Таким образом, мы еще раз убедились в том, что ротор вектора представляет собой некоторую производную от вектора по объему. Интегрируя последнее равенство по произвольному объему V, получим формулу Остроградского-Гаусса, которая потребуется нам при выводе выражения ротора в ДСК: (3.11)

Подведем некоторый итог. Мы ставили перед собой цель построить уравнения, позволяющие однозначно связать векторное поле со своими источниками, стоками и вихрями. Нам удалось это сделать с помощью уравнений (2.12) и (3.8). Теперь можно снова вернуться к проблеме определения векторного поля. Для ее решения необходимо вычислить вектор , или три его проекции из четырех уравнений (2.12) и (3.8). Таким образом, количество уравнений больше числа неизвестных, что делает обратную задачу теории поля переопределенной. К этому вопросу мы еще вернемся, а сейчас рассмотрим операцию ротора в ДСК.

3.4. Вычисление ротора в ДСК

Пусть задана ДСК, в которой вектор имеет стандартный вид:



Умножив скалярно это равенство последовательно на орты , получим соответствующие проекции на оси ДСК. Так, например, для компоненты: . С другой стороны, умножив уравнение (3.11) на вектор и внося его под знак интеграла, получим



. В поверхностном интеграле сделаем циклическую перестановку в смешанном произведении и обозначим . По формуле Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл преобразуем в объемный

.

Так как интегрирование ведется по произвольному объему, то подинтегральные функции равны



. Нетрудно установить, что

. Следовательно,

Аналогичные вычисления необходимо провести и для остальных компонент ротора, для чего достаточно подставить в предыдущие формулы соответствующие орты:



и . Окончательно выражение ротора в ДСК будет иметь следующий вид: (3.12)

Эту формулу удобно запомнить, если записать с помощью определителя:



(3.13)

Упражнение 3

1) Вычислить линейный интеграл в плоском векторном поле:

а) , вдоль полуокружности

b) вдоль линии L: от точки до точки .

c) , вдоль параболы от точки до точки .

2) Вычислить работу силового поля , вдоль дуги окружности от точки до точки .

3) Вычислить линейный интеграл в векторном поле

, вдоль витка винтовой линии в направлении возрастания параметра .

4) Найти ротор следующих векторных полей:

a)

b)

c)

d)

5) Вычислить ротор векторных полей, если - постоянные векторы, - радиус-вектор:

a)

b)

c)

d)

Лекция 4. "Набла" – исчисление

4.1.Операции первого порядка по «набла»

Если посмотреть на пройденный материал, то можно заметить, что до сих пор было введено по сути три новых понятия: градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля. В ДСК они имеют следующий вид:



(4.1)

(4.2)

(4.3)

При внимательном рассмотрении системы (4.1)-(4.3) не трудно обнаружить общую закономерность в написании всех трех формул. Эта закономерность становится еще более очевидной, если ввести дифференциальный, векторный опeратор, имеющий в ДСК вид:



(4.4)

Оператор (4.4) называется "набла"-оператор, или оператор Гамильтона. Его компоненты в ДСК имеют вид и подчиняются обычным правилам векторной алгебры. С помощью этого оператора систему (4.1)-(4.3) формально можно записать в виде следующих произведений: - умножение вектора на скаляр,



- скалярное умножение двух векторов,

- векторное умножение двух векторов.

Такая формальная запись позволяет ввести правила, которые значительно упрощают работу с оператором "набла".



1. Оператор "набла" подчиняется известным правилам векторной алгебры и с ним

необходимо работать как с вектором.

2. Компоненты оператора "набла" представляет собой частные производные и для

него справедливы правила частного дифференцирования.

3. Чтобы подействовать на сложную функцию, стоящую справа от "набла", необходимо

пользоваться правилами векторной алгебры и правилами частного дифференцирования.

Следует сразу подчеркнуть, что применение этих правил требует навыка и, что самое важное, хорошее знание векторной алгебры и дифференциального исчисления. Для закрепления рассмотрим несколько примеров.



  1. Вычислить дивергенцию от вектора, где и произвольные функции координат. Используя сформулированные выше правила, запишем . Справа от оператора стоит произведение вектора на скаляр, и по правилу дифференцирования произведения мы должны по очереди подействовать оператором на каждый множитель, оставляя другой неизменным:

Здесь мы пометили (*) тот множитель, на который неявно действует оператор . Чтобы явно

подействовать на соответствующую функцию, применим правила векторной алгебры: в первом слагаемом скалярную функцию вынесем из-под скалярного произведения, во втором-поменяем местами вектора и. Тогда, В функциональной форме ответ будет

иметь следующий вид:

2. Вычислить , где и произвольные вектор-функции. Перепишем это выражение в операторной форме. Мы имеем двойное векторное произведение и, согласно

правилу дифференцирования произведения, запишем .

Здесь, как и раньше, (*) обозначены векторы, на которые неявно действует . Раскроем двойное векторное произведение, используя известное векторное правило "ВАС - САВ" [5], тогда,



Формальное применение векторных правил привело к нарушению правила дифференцирования произведения, т.к. в первом слагаемом справа вектор вышел из-под оператора. Исправить это легко, если в скалярных скобках векторы и переставить местами, а записать справа от них: . Таким образом,

. Аналогичные преобразования справедливы и для слагаемого

Окончательно будем иметь

В этом примере мы сталкиваемся с новой дифференциальной операцией, которая в ДСК выглядит очень громоздко:



Запишем решение примера 2 в функциональном виде

4.2. Операции второго порядка по «набла»

До сих пор рассматриваемые нами дифференциальные операции содержали оператор один раз, поэтому их называют операциями первого порядка. Естественно поставить вопрос об операциях второго порядка по. Для этого построим таблицу, в которой отразим возможные элементарные операции, полученные в результате применения оператора дважды.














- не существует, т.к. градиент определяется только для скалярного поля

-

элементарная операция второго порядка по



- не сущест- вует, т.к. градиент опре- делен для скаляра





. - оператор Лапласа

- не существует,

т.к. не вектор











по вектор. правилам

- не существует,

т.к. - не вектор






Таким образом, из таблицы видно, что фактически существует две элементарные операции второго порядка по . В ДСК они имеют следующий вид:



.

Следует обратить внимание на то, что две элементарные операции второго порядка всегда тождественно равны нулю – это и



Упражнение 4

1. Вычислить операции второго порядка по "набла":

1) , где

2) , где

2. Используя правила "набла" исчисления, вычислить: ( )

1) ,

2), где

3) , где

4) где

5) где

6) где - вектор-функция

7) , где - вектор-функции

8) где

9) где

Лекция 5. Решение уравнений векторного поля

5.1. Метод потенциалов

Рассмотрим вопрос о единственности решения уравнений векторного поля. Запишем эти уравнения в виде системы:



(5.1)

Представим поле в виде суммы двух полей: , удовлетворяющих следующим уравнениям.



(5.2)

Из этих уравнений видно, что порождается источниками (стоками), т.к. и является чисто источниковым, а чисто вихревым, т.к. причинами его возникновения являются вихри: . Рассмотрим сначала поле . Из таб.1. видно, что если вектор представить в виде: , то он будет решением второго уравнения, т.к. и совместным решением всей системы при условии, что удовлетворяет следующему уравнению: или, окончательно,



(5.3)

Уравнение (5.4) хорошо известно и носит название уравнения Пуассона. Имеется доказательство единственности его решения и известны методы его получения. Таким образом, вопрос о нахождении вектора мы свели к решению дифференциального уравнения второго порядка в частных производных. Это большая самостоятельная задача, с которой читатель познакомится в курсе методов математической физики.

Рассмотрим вторую систему уравнений (5.2). Из первого уравнения этой системы и таб.1.

следует, что вектор всегда можно представить в виде: (5.4)

т.к. в этом случае он является решением первого уравнения, поскольку . Для совместного решения системы необходимо, чтобы вектор удовлетворял уравнению

(5.5)

Очевидно, что уравнение (5.6) не проще исходной системы уравнений, т.к. не удалось "расщепить" его на три скалярных уравнения относительно компонент . Чтобы это осуществить, рассмотрим множество векторов , преобразующихся по формуле , (5.6)

где произвольная функция координат. Подставим (5.6) в (5.4) и воспользуемся таб.1.

, т.е. вихревое поле не зависит от добавки градиента произвольной функции к вектор-потенциалу . Другими словами, поле допускает преобразование (5.6). Это свойство вихревого поля называется градиентной инвариантностью. Оно позволяет осуществить калибровку (отбор) вектор-потенциалов так, чтобы упростить уравнение (5.5). Например, Лоренц предложил следующее условие калибровки: . В этом случае уравнение (5.5) принимает вид: . (5.7)

Не трудно сообразить, что (5.7) представляет собой систему трех скалярных уравнений типа (5.3) относительно проекций вектора , т.е. задачу об отыскании поля мы снова свели к проблеме решения уравнения Пуассона.

Таким образом, полное поле теперь можно выразить с помощью потенциалов и , которые, в свою очередь, могут быть получены из решения уравнений Пуассона (5.3), (5.7) и калибровки Лоренца:

(5.8)

5.2. Формулы Грина

Рассмотрим формулу Остроградского-Гаусса: . (5.9)

Допустим, что вектор можно представить в виде: , где и - произвольные функции координат непрерывные вместе со своими первыми производными внутри области и на поверхности и

имеющие непрерывные вторые производные внутри области. Вычислим



,

где - производная по направлению . Подставив эти вычисления в (5.9), получим



(5.10)

несимметричную формулу Грина, которая часто используется в теоретических разделах физики. Легко симметризовать эту формулу, поменяв местами функции и в формуле (5.10):



(5.12)

(5.11)


Вычитая равенство (5.11) с (5.10), получим симметричную формулу Грина:
Упражнение 5

1. Найти потенциалы следующих векторных полей:

1) , где ,

2) ,

3) ,

4) ,

2. Найти векторные потенциалы соленоидальных полей:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) .

Лекция 6. Криволинейные системы координат

6.1. Построение криволинейной системы координат

В предыдущих лекциях мы часто обращались к декартовой системе координат (ДСК), в то время как существует множество других координатных сеток. И это вполне оправдано, так как ДСК - наиболее простая и естественная система координат. Она представляет собой три взаимно перпендикулярные, попарно пересекающиеся плоскости, общая точка пересечения - начало ДСК, линии пересечения - координатные оси (см. рис. 6).

Рис. 6 Разложение вектора в ДСК

Если каждую точку на координатных осях занумеровать, приписав ей число, равное расстоянию этой точки до начала ДСК, мы осуществим их естественную градуировку и декартовы координаты будут иметь метрическую размерность. ДСК будет полностью определена, если ее сориентировать в пространстве, выделив на осях направления положительных и отрицательных значений декартовых координат. Осуществить это можно с помощью тройки единичных базисных векторов



помещенных в начало ДСК и касательных к координатным осям. Произвольный вектор

будет иметь следующее стандартное разложение в ДСК: . Проекции этого вектора связаны с декартовыми координатами, задающими начальную и конечную точку, по формулам: Важным свойством ДСК является то, что для описания любых величин и процессов в ней достаточно ввести одну глобальную систему координат с произвольным началом и фиксированным базисом.

Расстояние между двумя бесконечно близкими точками совпадает с разностью координат этих точек, если они расположены на оси координат, или выражается через них по формуле Евклид: В дальнейшем, для удобства записи громоздких выражений, введем знак суммы и все координаты будем нумеровать индексами. Так для ДСК введем обозначения т.е. - декартовы координаты. Тогда формула расстояния в ДСК примет вид: (6.1)

где - расстояние между двумя бесконечно близкими точками, -разность их декартовых координат.

Построим произвольную Криволинейную Систему Координат (КСК), опираясь на ДСК. Рассмотрим в ДСК три поверхности, которые пересекаются только попарно и имеют хотя бы одну общую точку. Пусть эти поверхности заданы следующей системой уравнений:



(6.2)

По аналогии с ДСК линии пересечения поверхностей будем называть координатными линиями, общую точку пересечения - началом КСК. Из определения поверхности следует, что на координатной линии две функции из (6.3) будут постоянными, а третья будет принимать некоторые числовые значения. Этими числами можно занумеровать все точки координатной линии, и они будут играть роль криволинейных координат (см. рис. 7.).

Рис. 7. Криволинейная система координат

Таким образом, каждой точке на координатной линии соответствует определенное число из области значений соответствующей функции: . Это значит, что КСК проградуирована. Для описания векторных величин, КСК необходимо сориентировать в пространстве, т.е. задать базисные вектора. Из линейной алгебры известно, что для этого достаточно определить тройку линейно независимых векторов. Поступим следующим образом, наряду с ДСК рассмотрим полярную систему координат, когда точки пространства нумеруются с помощью радиуса-вектора . Уравнения (6.2) задают криволинейные координаты как функции декартовых и называются координатными преобразованиями. Будем считать эти преобразования не вырожденными и запишем обратный переход от криволинейных к декартовым:



(6.3)

С помощью обратного преобразования (6.4) выразим радиус-вектор в КСК:



Вычислим дифференциал радиус-вектора (6.4)

Тройка векторов , (6.5)

построинных в начале КСК, линейно независима и может быть выбрана в качестве базиса КСК.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Тройка линейно независимых векторов (6.6) называется ковариантным базисом КСК

По определению частной производной вектор направлен по касательной прямой к соответствующей координатной линии, т.е. базисные вектора ориентированы по касательному направлению к координатным линиям. Формулу (6.4) следует рассматривать, как правило, разложения произвольного вектора в ковариантном базисе КСК:



(6.6)

причем набор чисел принято называть контравариантными компонентами вектора, в данном случае

Рассмотрим вопрос о единственности выбора базиса КСК. Криволинейные координаты

задаются уравнениями (6.2), их можно рассматривать как поверхности равного уровня для скалярного поля (см. лекцию 1). Построим тройку векторов:



, где (6.7)

Известно, что градиент всегда ортогонален к ПРУ, следовательно, вектора (6.7) не компланарны и

они ориентированы перпендикулярно координатным поверхностям. По этому, они могут также рассматриваться в качестве базиса КСК.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.2. Тройка линейно независимых векторов (6.7) называется контравариантным базисом КСК.

Таким образом, в криволинейной системе координат имеются, по крайней мере, две возможности ввести базисные вектора: ковариантные (6.5) и контравариантные (6.7). В общем случае ни тот, ни другой базисы не обладают каким-либо преимуществом, однако на практике выбор их диктуется соображениями удобства или симметрией решаемой задачи. К тому же в дальнейшем мы увидим, что использование смешанного базиса во многом упрощает запись громоздких выражений. Правило разложения (6.6) можно распространить и на контравариантный базис: (6.8)

При этом надо иметь в виду, что криволинейные проекции одного и того же вектора в разных базисах в общем случае различны. Чтобы это учесть, компоненты вектора в контравариантном базисе называются ковариантными проекциями, и обозначать индексами внизу. Такая нелогичность в названиях проекций вектора в дальнейшем получит свое объяснение. На данном этапе необходимо запомнить правила разложения любого вектора в обоих базисах:

(6.9)

Таким образом, мы предлагаем читателям запомнить, что компоненты произвольного вектора в ковариантном базисе обозначаются индексами вверху и называются контравариантными, а компоненты вектора в контравариантном базисе обозначаются индексами внизу и называются ковариантными. Другими словами, положение индекса у проекции вектора однозначно связано с выбором базиса, в котором этот вектор разложен.



6.2. Метрика криволинейной системы координат

Построение векторного анализа в КСК предполагает знание формулы, задающей расстояние между двумя точками пространства. При этом достаточно задать расстояние между двумя бесконечно близкими точками. В ДСК не было никаких затруднений, поскольку расстояние в ней определялось формулой Евклида (5.2). В КСК этот вопрос менее простой и требует детального рассмотрения.

Определим квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками инвариантным

(не зависящим от выбора системы координат) способом, как квадрат длины (модуль) вектора соединяющего эти точки: . (6.10)

Расписав скалярное произведение (6.10) в ДСК, мы получим формулу Евклида (6.1). Представим , например, в ковариантном базисе КСК по формуле (6.6), тогда:



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3. Множество функций (6.11)

называется Фундаментальным Метрическим Тензором Гаусса (ФМТГ) в ковариантной форме.

В теории пространств этот набор (тензор) играет важную роль и определяет метрику пространства. Используя определение 6.3, получим (6.12) Фундаментальную Метрическую Форму Гаусса (ФМФГ), задающую расстояние для двух бесконечно близких точек в ковариантном базисе КСК через разности их координат. Аналогичные формулы легко получить в контравариантном базисе:



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4. Множество функций , (6.13)

называется Фундаментальным Метрическим Тензором Гаусса (ФМТГ) в контравариантной форме. Запишем ФМФГ в контравариантном базисе. , (6.14)

Имеется еще одна возможность задать ФМФГ и ФМТГ, если вектор представить один раз в ковариантном базисе, а другой раз в контравариантном, тогда



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.5. Множество функций , (6.15)

называется Фундаментальным Метрическим Тензором Гаусса (ФМТГ) в смешанной форме.

ФМФГ в смешанном базисе примет вид: (6.16)

Такое многообразие способов задания расстояния в КСК может вызвать в начале некоторую растерянность у читателя, однако не следует отчаиваться. Важно усвоить следующее: система координат - это один из способов математического отображения различных физических величин. Выбор координатной сетки достаточно произволен и этот произвол не должен влиять на физические законы. Поэтому для определения метрики в КСК безразличен выбор того или иного базисов, т.к. имеет одно и тоже значение в любом представлении. Принципиальным здесь является задание трех наборов из девяти функций ФМТГ .

Выразим ФМТГ в произвольной КСК, если заданы координатные преобразования (6.3) и (6.4). Для этого запишем формулу для расстояния в ДСК (6.17)

вычислим (6.18)

Подставим (6.18) в (6.17) и поменяем порядок суммирования (запомните: при умножении сумм индексы суммирования должны быть разными)

.

Сравнивая это выражение с формулой (6.12), приходим к выводу, что



(6.19)

Это и есть искомое выражение ковариантных компонент ФМТГ в произвольной КСК. Таким образом, для получения явного вида в той или иной КСК необходимо задать координатные преобразования между ДСК и КСК.



6.3. Нормировка базиса КСК

Рассмотрим вопрос о нормировке базисных векторов в КСК. Известно, что орты ДСК безразмерны, ортогональны и нормированы на единицу. Ковариантный и контравариантный базисы КСК, в общем случае, имеют произвольную размерность, не ортогональны и не нормированы. Осуществить нормировку и, следовательно, сделать базис КСК безразмерным можно следующим образом. Определим единичный ковариантный базисный вектор



(6.20)

где (6.21)

масштабные множители Ламе (геометрический смысл этих множителей мы выясним позже). Таким образом, связь не нормированного и нормированного базисных векторов будет иметь вид:

(6.22)

Аналогичная нормировка имеет место и для контравариантного базиса:



(6.23)

где (6.24)

дифференциальные множители Ламе (геометрический смысл и этих множителей мы также выясним позже). И в этом случае связь ненормированного и нормированного базисных векторов будет иметь вид: , (6.25)

Разложим вектор в ковариантном базисе по формуле (6.6) и подставим в формулу:



(6.26)

Распишем сумму в (6.26) для , тогда , очевидно, что в данном случае мы имеем линейную зависимость между компонентами вектора . Это противоречит

теореме о единственности разложения вектора в базисе. Чтобы устранить это противоречие, необходимо наложить на следующие свойства:

Тогда мы имеем тождество , а представляет собой единичную матрицу.



Упражнение 6

Построить цилиндрическую систему координат: координатные поверхности, координатные

линии, базисные вектора, компонентны ФМТГ, коэффициенты Ламе, записать, если заданы координатные преобразования вида:

1. Построить сферическую систему координат: координатные поверхности, координатные линии, базисные вектора, компонентны ФМТГ, коэффициенты Ламе, записать, если заданы координатные преобразования вида:




Лекция 7 Ортогональные криволинейные системы координат

7.1. Условия ортогональности КСК

До сих пор мы рассматривали КСК самого общего вида. Несмотря на нормировку, базисные вектора предполагались не ортогональными. На практике чаще всего приходится иметь дело с ортогональным системами координат. Дадим определение ортогональной КСК.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Криволинейная система координат называется ортогональной , если ее базисные вектора удовлетворяют условию: (7.1)

Аналогичное определение имеет место и для контравариантного базиса. В ортогональной КСК ФМФГ значительно упрощается: , (7.2)

или, учитывая определения и: . (7.3)

Из последней формулы видно, что для задания расстояния в ортогональной КСК достаточно определить совокупность трех коэффициентов Ламе , причем (7.4)

Рассмотренные выше метрические соотношения играют важную роль в векторном и тензорном анализе. Это наглядно видно при построении выражения градиента, дивергенции, ротора и других операций по "набла" в ортогональной КСК.

7.2. Выражение градиента в ортогональной КСК

Рассмотрим одну из координатных линий , как кривую в области D, в которой задано скалярное поле . Согласно определению, нормированный базисный вектор направлен по касательной прямой к этой линии в точке M. Воспользуемся определением градиента (1.8) и запишем связь его с производной от поля по направлению , тогда ,

где - производная по направлению соответствующей координатной линии в точке M Разложим градиент в ортонормированном базисе КСК:

(7.5)

Здесь - компоненты градиента. После подстановки получим



или, учитывая определение ортонормированности базиса, (7.6)

Из полученного равенства следует, что производная от по направлению координатной линии совпадает с проекцией градиента, так как она имеет требуемую размерность и называется физической компонентой вектора. По определению - расстояние между двумя бесконечно близкими точками и по формуле (7.3) оно равно (7.7)

После подстановки (7.7) в (7.6), получим , или окончательно



. (7.8)

Это и есть искомое выражение градиента в ортонормированной КСК. Следует обратить внимание на формулу (7.7), так как она позволяет дать геометрическую интерпретацию коэффициентов Ламе. В левой части равенства (7.7) стоит расстояние между двумя точками на координатной линии, в правой - разность координат этих точек, следовательно, коэффициенты Ламе переводят разность координат в расстояние вдоль соответствующей координатной линии. Таким образом, с помощью коэффициентов можно вычислить длину линии, площадь поверхности и объем тела в ортогональной КСК.

Аналогичные рассуждения справедливы и в контравариантном базисе. Если же учесть, что оба базиса взаимно обратны, т.е. соответствующие вектора взаимно перпендикулярны, то для ортонормированных КСК различия в базисах исчезают, и расположение индексов у компонент векторов может быть произвольным (обычно индексы пишут внизу).

7.3. Выражение дивергенции в ортогональной КСК

Воспользуемся тем, что вывод дивергенции не должен зависеть от выбора первоначальной поверхности и способа стягивания ее в точку. В качестве первоначальной замкнутой кусочно-гладкой поверхности возьмем малый (в пределе бесконечно малый) параллелепипед . Предельным переходом будем стягивать его в точку O. Для упрощения записи громоздких выражений введем обозначения граней (см. рис. 8).


Рис. 8 Вычисление дивергенции в КСК


.

. (7.9)

Здесь - поток вектора через полную поверхность параллелепипеда. Очевидно, что его можно разбить на сумму - суммарный поток вектора через противоположные грани . Вычислим, например,



(7.10)

Каждая грань параллелепипеда при становится бесконечно малой, поэтому с точностью до второго порядка малости на каждой грани будет справедливо следующее утверждение: на



на . Интегралы в (7.10) вычислим, используя определение проекции вектора и теорему Лагранжа о среднем: (7.11)

Здесь - проекции вектора на орт , заданные на соответствующих гранях.

Для бесконечно малых параллелограммов и с принятой точностью можно записать:



.

Подставим этот результат в (7.11) и после несложных преобразований получим



(7.12)

Здесь обозначено - приращение функции, стоящей в скобках, при переходе с грани на грань Подобным образом подсчитаем поток вектора через остальные противоположные грани.



(7.13)

(7.14)

Полный поток вектора получим, просуммировав выражения (7.12)-(7.14):



Легко подсчитать объем параллелепипеда с точностью до второго порядка малости



Дивергенцию вектора вычислим, подставляя и в определение (7.9):



. (7.15)

Стремление объема к нулю, с одной стороны, дает значение всех функций, стоящих под знаком предела, в предельной точке O, с другой стороны, предел отношения приращения функции к приращению аргумента по определению есть частная производная. Таким образом, окончательно дивергенция будет иметь следующий вид в ортогональной КСК:



. (7.16)

7.4. Выражение ротора в ортогональной КСК

Рассмотрим произвольную ортонормированную КСК ( см. рис.9).

Рис. 9. Вычисление ротора в КСК

Для получения выражения ротора в этой системе координат, воспользуемся формулой, связывающей плотность циркуляции с проекцией ротора на нормаль (3.4). Если замкнутый контур

определить так, как указано на рис. 9., то в качестве нормали можно выбрать соответствующий базисный вектор. Так, например, для криволинейного параллелограмма OACB базисный вектор c точностью до второго порядка малости ортогонален к площадке, ограниченной контуром OACB. В этом случае, используя свойство (3.4), запишем:

. (7.17)

Здесь - проекция ротора на орт , - площадка, ограниченная контуром OACB, - единичный вектор касательный к этому контуру. Чтобы вычислить предел (7.17), необходимо подсчитать циркуляцию вектора вдоль OACB, задавая направление обхода против часовой стрелки. Очевидно, что контурный интеграл равен



С принятой точностью на криволинейных отрезках и , справедливы следующие утверждения: на на на на

С помощью теоремы Лагранжа о среднем получим:

В данном случае мы обозначили - проекции вектора на орт в некоторой точке на кривой или . Разность в круглых скобках будем рассматривать как приращение функции при переходе с отрезка на отрезок . Тогда, используя формулу (7.17), получим



Подставим полученное значение интеграла в формулу (7.17) и выразим площадь криволинейного параллелограмма в ортогональной КСК: тогда



или, используя определение частной производной,

(7.18)

Оставшиеся две компоненты ротора также легко получить, если замкнутые криволинейные контуры выбрать на соответствующих координатных поверхностях (читатель может проделать это самостоятельно):



(7.19)

(7.20)

Полное выражение вектора ротора в ортогональной КСК имеет громоздкий вид и его

удобней представить в виде определителя:

(7.21)

7.5 Выражение оператора Лапласа в ортогональной КСК.

Чтобы получить выражение в ортогональной КСК, воспользуемся определением:



. Выразим в ортогональной КСК по формуле (7.8), тогда . Если компоненты градиента подставить в формулу (7.16), то

(7.22)

Это и есть искомое выражения оператора Лапласа в ортогональной КСК.

Подведем итог по всей лекции. Выбор той или иной системы координат определяется

соображениями удобства или симметрией решаемой задачи. Наиболее простой и естественной является ДСК, в которой ФМФГ имеет вид единичной матрицы:



(7.23)

из которого видно, что все коэффициенты Ламе тождественно равны единице. Для задания произвольной КСК необходимо задать либо координатные преобразования (5.4), либо определить все компоненты ФМТГ. В ортогональной КСК достаточно знать три функции. Очевидно, что в КСК работать сложнее, чем в ДСК. Это хорошо видно на примере основных векторных операций. Иногда симметрия задачи такова, что использование ДСК становится невыгодным. В этом случае удобной может оказаться ортогональная КСК. Однако бывают задачи, в которых учитывается кривизна пространства (Римановы пространства). Для такого случая невозможно записать ДСК во всем пространстве и приходится пользоваться произвольными КСК. В этой лекции мы записали выражения основных операций векторного анализа в ортогональной криволинейной системе координат. Очевидно, что вид этих операций можно получить в любой КСК, однако из-за громоздкости мы не станем их приводить. Предоставим эту возможность читателю.



Упражнение 7

1. Вычислить градиенты скалярных полей в цилиндрических координатах.

a)

b)

2. Вычислить градиенты скалярных полей в сферических координатах.

a)

b)

3. Вычислить дивергенцию векторных полей в цилиндрических координатах.

a) ,

b) .

4. Вычислить дивергенцию векторных полей в сферических координатах.

a)

b)

5. Вычислить ротор векторных полей в криволинейных координатах.

a)

b)

c)

d)

6. Записать в сферической и цилиндрической системах координат выражения для оператора Лапласа .
следующая страница >>