1 Множества и отношения. Примеры - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
1 Множества и отношения. Примеры - страница №1/2

1 Множества и отношения. Примеры.

Если X- мн-ва,то х2=х*х=х1,х2х1,х2∈Х мн-во всех упорядоченных пар.

хn=х*х*…=х1,…,хnхi,∈Х- мн-во всех наборов.

P(x)- мн-ва всех подмножеств Х.

Отношение ∆ n-арное на множестве Х – это ∆∈ хn. Если х1,…,хn∈∆, то говорят х1,…,хn находится в отношении ∆.

Примеры


  1. n=1 ∆∈ Х наз. Унарное(одинарное) отношение. Это означает, что каждые элементы мн-ва выделены.

  2. n=2 бинарное отношение.

  1. E – мн-во точек евклидовой плоскости, L – мн-во всех прямых.

∆∈E*L (A, l) ∈∆ <=> А∈l - инциндентность или принадлежность.

  1. S – мн-во всех треугольников на плоскости или прстранстве.

Среди бинарных отношений выделяются отношения «эквивалентности» которые удовлетворяют 3 свойствам: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

  1. n=3 тенарное отношение

E - мн-во точек пространства евклида.

E3=E*E*E

∆⊂E3 (A,B,M) ∈∆ <=> 1) A, B,M –различные точки прямой 2) M между Aи B


  1. Отображение (ф-ция)

х,у - множества

f: х -> у х->f(х)=у

∀ х∈Х ∃у∈У у=f(х)

Гf=(х,у)у∈f(х) гр. Ф-ции.



  1. Алгебраические операции определяются через отоброжения и поэтому также явл. отношением .

v векторное пространство f: v * v→ v :fa,b=a b ∈v

  1. Скалярное произведение

G: v * v→R: a,b→g(a, b) = a b ∈R

  1. Меорина

M – пространство точек

g:M*M→ R+:(х,у) -> g(х,у)∈R+ - неотрицательные числа

gх,у-расстояние между точек.


  1. Откладывание вектора

E - пространство точек v векторное пространство

δ: E*E→ v:А,В→А,В=АB



2. Математические структуры. Примеры

Основным методом в современной математике является аксиоматиче-

ский метод в теоретико-множественном понимании, тесно связанный с понятием математической структуры.

Пусть А1,А2,А3,...,Аn - непустые множества. А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn -

прямое (декартово) произведение этих множеств, т.е. множество всех упорядоченных n-местных кортежей (a1;a2;...;an), элемент ai которых, стоящий на i-ом месте, принадлежит множеству Ai ,i =1,2,...,n.

В теоретико-множественной записи: А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧА ={(a1,a2,...,an)|ai ∈Ai}. n



Определение 1.1.1. Любое подмножество декартова произведения множеств А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧА называется n-арным (или n-местным) отношением δ , n определенным во множествах А1,А2,А3,...,Аn .

Замечание. Из определения имеем:

1) δ ⊂А1ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn.

2) Элементы (a1;a2;...;an)(ai ∈Ai ,i =1,2,...,n) находятся в отношении δ , ес-

ли (a1;a2;...;an)∈δ .



3) Если А1 = А2 = А3 = ...= Аn = A, то А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn = An - n-ая декар-

това степень множества A.

4) Если δ ⊂An ,то гов: на множестве A определено n-арное отношение δ .

5) В случае бинарного отношения δ ⊂A1 ЧA2 вместо (a1;a2)∈δ пишут a1δa2 - «a1 находится в отношении δ с a2». Например, отношение равенства на множестве R всех вещественных чисел – бинарное отношение.



6) Пусть на множестве A определена алгебраическая операция (внутренний закон композиции) ϕ : AЧA→A. Ее можно рассматривать как тернарное отношение δ ⊂AЧAЧA= A3 , где δ ={(a,b,c)∈A3 |ϕ(a,b) = c}, a,b,c∈A.

7) Пусть на множестве A определен внешний закон композиции f с множеством операторов Λ: f :ΛЧA→A. Его можно рассматривать как тернарное отношение, определенное на множествах Λ,A при помощи подмножества δ ⊂ΛЧAЧA, т.е. δ ={(λ,a,b)∈ΛЧAЧA| f (λ,a)=b}, λ∈Λ, a,b∈A.

Рассмотрим конечную систему различных непустых множеств

А1,А2,А3,...,Аn . Пусть, например, n= 3.

7 Пусть σ ={δ1,δ2,...,δk} - некоторая система тернарных отношений, оп-

ределенных на множествах А1,А2,А3 и обладающих свойствами α1,α2,...,αt . То есть δi - это такое подмножество декартова произведения А1ЧА2ЧА3 , которое обладает всеми свойствами α1,α2,...,αt одновременно.

Может быть, что существует не одна, а несколько таких систем отно-

шений σ ={δ1,δ2,...,δk}. Например, ϕ - алгебраическая операция на множе-

стве R действительных чисел: ϕ :RЧR→R (т.е. ϕ можно рассматривать

как единственное отношение δ ={(a,b,c)∈R3 |ϕ(a,b)=c}, a,b,c∈R). Пусть

отношение δ обладает свойством коммутативности

α1 :ϕ(a,b)=ϕ(b,a)∀a,b∈R. Можно указать два знчения отношения δ , обладающего свойством α1 (т.е. две коммутативные операции на R): δ′ - сложение, δ′′- умножение, т.е.

δ′ ={(a,b,c)∈R3 |a+b=c},

δ′′ ={(a,b,c)∈R3 |a⋅b=c}.

Пусть Τ - непустое множество всех систем σ ={δ1,δ2,...,δk} отноше-

ний, каждое из которых обладает заданными свойствами α1,α2,...,αt .

Определение 1.1.2. Элемент σ∈Τ определяет на множествах А1,А2,А3

математическую структуру рода Τ .

Определение 1.1.3. Явно сформулированные свойства α1,α2,...,αt , оп-

ределяющие множество Τ , называются аксиомами структуры рода Τ .

Определение 1.1.4. Множества А1,А2,А3 называются базой структуры

рода Τ .

Таким образом, математическая структура рода Т представляет со-

бой одно или несколько множеств А1,А2,А3,...,Аn(образующих базу струк-

туры), элементы которых произвольной природы (основные, неопределяемые понятия данной теории) и находятся в некоторых отношениях δ1,δ2,...,δ (называемых основными неопределяемыми отношениями), удовлетворяющих аксиомам α1,α2,...,αt .

Аксиомы иногда характеризуют не одну с точностью до изоморфизма,

а некоторое множество математических структур. Совокупность всех струк-

тур, определенных данной системой аксиом Σ ={α1,...,αt}, называется родом Т этих структур.

Совокупность предложений, которые можно вывести логическим пу-

тем из аксиом структуры, называется теорией структуры рода Т.

В 30-х годах ХХ в. Н. Бурбаки определил математику как науку о ма-

тематических структурах. Математические структуры подразделены им на три вида: алгебраические, порядковые и топологические. Евклидово, псевдоевклидово, риманово, псевдориманово пространства, пространственно-временной континуум являются примерами структур топологического типа.

8 Рассмотрим простейшие структуры алгебраического типа. Всем струк-

турам одного и того же рода дают специальное название: структура группы, структура n-мерного векторного пространства и др.

Пример 1.1.1. (структура группы). Система σ ={δ1,δ2,...,δk} отноше-

ний состоит из одного тернарного отношения δ ⊂GЧGЧG=G3, соответст-

вующего алгебраической операции: ϕ :GЧG→G

(т.е. ϕ можно рассматривать как единственное отношение

δ ={(a,b,c)∈G3 |ϕ(a,b)=c}, a,b,c∈G). База состоит из одного множества

G . Три аксиомы системы аксиом Σ ={α1,α2,α3} структуры группы:

α : ∀a,b,c∈G:ϕ(ϕ(a,b),c)=ϕ(a,ϕ(b,c)) - аксиома ассоциативности;

1 α2 : ∃e∈G∀a∈Gϕ(a,e)=ϕ(e,a)=a - существование нейтрального элемента;

α3 : ∀a∈G ∃a′∈G ϕ(a,a′)=ϕ(a′,a)=e - существование симметричного

элемента.



Пример1.1.2. (структура n-мерного векторного пространства над заданным полем).

База состоит из двух множеств – основного множества V (его элементы -

векторы – основные неопределяемые понятия); вспомогательного множества K(его элементы условно называются скалярами). Система отношений

σ ={δ1,δ2,...,δk} состоит из двух тернарных отношений:

δ1 ⊂KЧVЧV, δ1 ={a, xr, yr | f (a, xr)= yr}, a∈K, xr, yr∈V ;

δ2 ⊂V ЧV ЧV =V3, δ2 ={(ar,br,cr)|ϕ(ar,br) = cr}, ar,br,cr∈V .

Аксиомы структуры векторного пространства V над полем K:

α1 :∀λ,μ∈K ∀ar∈V f (λ, f (μ,ar)= f (λμ,ar);

α2 :∀λ,μ∈K ∀ar∈V f (λ+μ,ar)=ϕ( f (λ,ar), f (μ,ar));

α3 :∀ar∈V f (1,ar)=ar;

α ∀r r∈ ∀λ∈ λ ϕ r r =ϕ λ r λ r ;

4 : a,b V, K f ( , (a,b)) ( f ( ,a), f ( ,b))

α5 : ∃0r∈V ∀ar∈V ϕ(0r,ar) =ϕ(ar,0r) = ar ;

α ∀ar∈V ∃ −ar ∈V ϕ ar −ar =ϕ −ar ar = r ;

6 : ( ) ( ,( )) (( ), ) 0

α7 :ϕ(ar,br)=ϕ(br,ar)∀ar,br∈V ;

α8 :ϕ(ar,ϕ(br,cr))=ϕ(ϕ(ar,br),cr)∀ar,br,cr∈V .

Таким образом, теория структур рода Т – это множество предложе-

ний (теорем), являющихся логическими следствиями аксиом структуры рода Τ .

Предметом математики являются математические структуры. Основ-

ной метод математики – дедуктивный аксиоматический (от общих акси-

ом к частным следствиям из них):

- вводятся неопределяемые, первичные понятия структуры;

- вводятся основные отношения;

- структуры строятся с помощью аксиом;

- затем, используя законы логики, строится теория структур данного рода.


3.Модели. Примеры.

Модели(интерпретации)если даны 2 аксиоматические теории S(«старая»), T(«новая»),то построить модели теории T на основе S означает следующее:



1)первоначальное понятие Т определяется на основе S

2) «первоначальное отношение Т» определяется на основе S

3) аксиомы ξ(кси)S => ξT Другими словами аксиоматика Т док-ся как теоремы в теории S

Если построена модель теории Т на основе S ,то можно сказать,что теория Т как бы вкладывается в теорию S



Примеры

1)геометрическая модель векторного пр-ва . Двумерное в-рное пр-во к аксиомам 1-8 добавл 9.dim v=2, 1-9 описывает теорию Т двумерного в-рного пр-ва.

S- евклидова геом пл-сть. Векторы опред-ся как направл отрезки



2) арифметич модель двумерного в-рного пр-ва

V=R2={(a1,a2)(ai€R)} мн-во всех упорядоченных пар чисел

а =(а12) ,

а+в=(а1122),

к*а=(к*а1,к*а2)

а+в=(а1а21в2)=(а1122)=(в1122)=(в12)+(а12)



4.Изоморфизм. Примеры

Если 2 структуры 1 рода, те у них однотипные понятия и одинаковое число однотипных отношений и мд множ-ми понятий соотв. Можно установить взаимнооднозн соотв так, что эти соотв (отображения)сохр отношение.



Примеры!

1)G=+ *,°>; H=

G->H:X->lnx; F(x)=Lnx; F(xy)=f(x)+f(y); ln(xy=lnx+lny)

2) (M1,p1(po)) метрическое простран-во; p1:M1xM1->R+; (M2p2)- еще одно метрич про-во. Изоморфизм в этом случае наз изометрия f:M1->M2 взаимнооднозначное отобр (x,y)€M1; p1(x,y)=p2(f(x1)+f(x2)

3) Если v произ вектора про-во. вводится понятие линейной зависимости, независимости, базиса и координат и размерность, затем док-ся что произв векторное про-во размерности dimv=n изоморфно Rn={a1..an|ai€R} если v над R изоморф структуры астр и более конкр модели



5.аксиоматические теории.Роль теории множеств.

На первом этапе “наивная” теория мн-в.,т.е. не аксиоматическая. Обнаружились противоречия,самый известный парадокс Рассола:х=мн-во всех таких мн-в которое не содержит себя в качестве элемента. Возникают противоречия 1)х∈х то противоречит опр.х 2)х не принадлежит х, тогда по опр.х должен себя содержать.Противоречие удается избежать если описать теорию мн-в аксиоматически. 1902г итал.мат. Цермело первая система аксиом теории мн-в., эти аксиомы самые сложные. Некоторые аксиомы не очевидны или на первый взгляд естественны ,но приводят если их исп. В док-х к совершенно не очевидным теоремам. Эти проблемы логически строгого обоснования мат-ки и некоторые другие привели к кризису обоснования мат-ки в начале 20-го века. Эти сложности непрерывны до сих пор ,эти разногласия не определены до сих пор. Исп. Теории множеств в современной мат-ке очень широко распространено и без теории мн-в обойтись нельзя,но при максимально строгом построении мат.теории все понятия в ней должны быть описаны аксиомами и значит если мы исп. Слово мн-во то в принципе должна исп. И сис-ма аксиом теории мн-в, но это не делается ввиду сложности этой аксиоматики.

Все же учитывая сложности связанные с теорией мн-в некоторые авторы употребляют понятие теории мн-в ограниченно напарим. : совершенно исключают термины мн-во .пренадлежность в аксиомах Гильберта “Основания геометрии ” избегают слов мн-во,пренадлежность.

6. Непротиворечивость

Поскольку использ Аристотелева двузначная ночи-ка в которой запрещается противоречия или другое слово наличие противоречий отличает ложность высказываний(з-н противоречия)

Противоречивые обьекты в мат-ке считаются не сущ-ми. Др словами «Существование в матем-ке равносильно отсуствию противоречия» (Пуанкаре)

Если есть аксиоматическая теория , то она наз внутренней, не притворечивой, если среди её аксиом и теорем нет противоречущих друг другу то не должно быть не двух аксиом отриц друг друга, ни аксиом и теоремы, ни двух теорем отриц друг друга. Если аксиом теор не противор, то её сис-ма аксиом непротиворечива. [ɣ]-описание. Поскольку вывод новых теорем впринципе не оганич процесс , то внутреннее непротиворечивость проверить сложно.

Более того как следует из теор К.Геделя о «неполноте» док-ть внутреннюю непротивор достат сложно с матем теории. Напр теор N чисел впринципе невозможно(1931 г). Есть другое понятие непротиворечивости, кот легче проверяются.

Аксиомат теория T наз относительно непротиворечивой если можно построить её модель T на основе теории S. Если такая теория построить , то теория T непротиворечива S. Из аксиомы сис-мы аксиом ԐS=>ԐT=>Th1,The… Др словами Вопрос о непротивор одной теории свод к вопросу о непротивор другой. Для огромного количествамат теории могут быть построены модели на основе R и это означает Т.О что эти теории на противор напр для чего если непротивор R иди для ещё более ф-ной теории N. Из примеров => что теория в-ного простр-ва теория действ чисел или метод коорд, позволяющий свести геометр к числам означает что Евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива теория дейст чисел.

7.Независимость аксеом и полнота систем аксеом.

Акс. теория дедуктивно полная.

результат доказуемости аксеом бывает трехвозможен:



1утверждение истино

2утв недоказуемо

3утв ложно

Полнота<=> катигоричность.

акс теория наз катигоричной если все ее модели изоморфны(т.е. если между основными эл-тами этих моделей можно установить взаимооднозн. отнош,при кот. сохраняются основные отнош)

Матем теории:1котегоричные.

2 некотегоричные:2.1топология

2.2 теория групп

Способы исследования:1исходя из системы аксеом

2 любой модели

Акс теория описана конечным списком аксеом

существует много зависимых аксеом.это проверяется с помощью моделей :

1не Аn-отрицание

2(буква сигма штрих по Т):А1...,Аn-1, не Аn

если мы докажем то можем построить след модель:(буква сигма поR=>буква сигма поT,буква сигма поR=>буква сигма поT )

если Аn и не Аn независ,то буква сигма по r -противоречива, т.к. выполняется Аn и не Аn .



8. Аксиоматика Гильберта, I и II группы

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:



  1. Аксиоматика принадлежности

  2. Аксиомы порядка

  3. Аксиомы конгруэнтности

  4. Аксиома параллельности

  5. Аксиомы непрерывности

  1. аксиомы принадлежности:

      1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.

      2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

      3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

      4. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

      5. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.

      6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.

      7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.

      8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

  2. аксиомы порядка:

      1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.

      2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.

      3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

4.Аксиома Паша Если прямая не проходит не через одну из сторон, вершин и пересекает одну сторону, то она пересечёт только одну сторону.Док-во: Пусть Р-точка пересечения АВ и L. Q-BC и L по аксеоме II3 из трёх точек P, Q,R- одна лежит между двумя другими. Q “между” и P и Q. Треугольник APR, прямая m=BC пересекает сторону PR в точке Q, а две другие стороны [АР] и [AR] – не пересекают, т.к. она пересекает эти стороны в точках. Получаем противоречие.

9.Аксиоматика Гильберта III, IV, V группы.

III.Аксиомы конгруэнтности:

1)если дан отрезок АВ и в этой же плоскости или в другой луч А1М,то существует такая точка В,принадл.полупрямой А1М, что АВ конгруэнтно А1В1.

2)если два отрезка конгруэнтны 3-му,то они конгруэнтны между собой.Отношение конгруэнтности явл. отношением эквивалентности на мн-ве всех отрезков.

3)АВ и ВС,А’B’ и B’C’ на прямой,отрезки без внутренних точек.Если АВ конгруэнтно А’B’,BC конгруэнтно B’C’  АС конгруэнтно A’C’.

4) Пусть дан ے(h,k) в плоскости α, а также определённая относительно прямой a' полуплоскость плоскости α', пусть h' – луч прямой a', выходящий из точки O'. Тогда на плоскости α' существует один и только один луч k', такой, что ے(h,k) конгруэнтен ے(h',k') и при этом все внутренние точки ے(h',k') лежат в данной полуплоскости α', это записывается символически: ے(h,k)≡ے(h',k'). Всегда ے(h,k)≡ے(h,k) и ے(h,k)≡ے(k,h).



Следствие. Каждый угол конгруэнтен сам себе.

 5) Если для двух треугольников ABC и A'B'C' имеют место конгруэнции: AB≡A'B', AC≡A'C', ےBAC≡ےB'A'C', то ےABC≡ےA'B'C'



IV. Аксиома параллельности. Дана прямая b и точка В на прямой,тогда в плоскости,содержащей эту прямуюи точку,существует не более одной прямой,проходящей через В и не пересекающей b.

Эта аксиома вместе со следствием о существовании || прямых означает,что через т-ку В не принадлежащую b проходит одна и только одна прямая b’,не пересекающая b.

V. Аксиома непрерывности:

1) Постулат Архимеда. Пусть AB и CD – два произвольных отрезка и пусть на луче AB с вершиной A взяты точки A1, A2, A3,…, расположенные так, что A1 лежит между A и A2, точка A2 лежит между A1 и A3 и т. д., причём отрезки AA1, A1A2, A2A3,… конгруэнтны отрезку CD. Тогда существует такой номер n, что точка B лежит между A и An.



рис.5
2) Принцип вложенных отрезков Кантора. Пусть на произвольной прямой a дана бесконечная последовательность отрезков A1B1, A2B2, A3B3,…, из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом не существует отрезка, лежащего внутри всех отрезков данной последовательности. Тогда на прямой a существует одна и только одна точка M, лежащая внутри всех отрезков A1B1, A2B2, A3B3,…

10. Аксиоматика Погорелова I, II группы.

I Аксиомы принадлежности:

  1. Через 2 точки проходит единственная прямая.

  2. Каждая прямая содержит 2 точки и существуют 3 точки не лежащие на одной прямой.

II Аксиомы порядка:

  1. Из 3-х точек на прямой одна единственная лежит «между» двумя другими.

  2. Если прямая l в пл-ти, то прямая разбивает плоскость на 2 полуплоскости, так что если A и B в одной полупл-ти , то l не пересекает отр АВ. Если А и В в разных полупл-тях, то l пересекает АВ.

Следствие: Из аксиомы II2 вводится понятие треугольника АВС сост из 3-х отрезков и 3-х точек не лежащих на одной прямой.

11.Аксиоматика Погорелова, 3,4 5,6 группы.Пространственные аксиомы.

3.Аксиомы длины отрезка и меры углов:

3.1Каждый опред.отрезок имеет опред.длинну(не отриц действит.число)

|АВ|=|АМ|+|МВ|.После этого логично вывести получ.группы на прямой.Выбираем точку О.О разбивает прямую на 2 полупрямые L «разбивает плоскость на 2 части».Одна полупрямая обзн.положительно на пр-р ОА, вторая ОС-отрицательной, тогда х точки, А – длинна отрезка|ОА|,х-точки хС =-|ОС|



3.2Каждый угол имеет опр. меру 0
< hl=r=Q, 0следующая страница >>