1 Физические измерения - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Аналоговый частотомер с автоматическим выбором предела измерения 1 101.26kb.
Темы для подготовки к контрольной работе Понятие измерения. 1 40.42kb.
Программа курса «Математические методы в психологии» 1 52.55kb.
Pa fast Sizer 100 Устройство для измерения размеров частиц 1 28.2kb.
Лекция физические инварианты материя, пространство и время 1 322.07kb.
Измерение отношения сигнал/шум 1 126.95kb.
Билет №2 Измерение информации: содержательный и алфавитный подходы. 1 72.05kb.
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика 11 2911.43kb.
Лабораторная работа №3 по дисциплине "Метрология, стандартизация... 1 129.63kb.
Определение ускорения свободного падения методом оборотного маятника 1 71.72kb.
Плата управления аттракционом силомер Внешний вид платы управления... 1 134.67kb.
Обеспечение образовательного процесса оборудованными учебными кабинетами... 1 98.76kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

1 Физические измерения - страница №1/7





1. Статистическая обработка результатов

эксперимента


1.1. Физические измерения

В данной работе рассматривается классификация экспериментов и погрешностей, а также простейшие методы математической обработки результатов наблюдений.



Физическая величина – характеристика особенности физического объекта или явления, которая отображает его свойство, состояние или происходящий в нем процесс. Физические величины имеют количественное и качественное содержание.

Измерение – экспериментальное определение количественного значения физической величины с помощью специально предназначенных для этого технических средств. Измерение включает в себя наблюдение и математические операции для определения результата измерений.

Измерения подразделяются на прямые и косвенные.



Прямое измерение – это измерение, при котором искомое значение физической величины является показанием какого-либо прибора, например: длина – на шкале линейки, температура – на термометре, напряжение – на вольтметре и т.п.

Косвенное измерение – это измерение, при котором искомое значение получают вычислением на основании ее зависимостей от величин, измеряемых прямо, т.е. по формулам (ускорение, энергия и т.п.)

Количественно измерения подразделяются на одно- и многократные.



К однократным отнесем измерения, не только проводимые один раз, но и те значения физических величин, которые мы сами задаем в экспериментах, например, высоту, с которой опускаем груз, массу этого груза и т.п.

При многократных измерениях эксперименты повторяются несколько раз при одинаковых исходных состояниях (независимые наблюдения).
1.2. Погрешности физических измерений

В процессе измерений всегда присутствуют погрешности, т.е. отклонения результата наблюдения физической величины х от ее истинного значения хист.. Абсолютные погрешности Δх выражаются в единицах измеряемой величины и равны:

Δх = х – хист., (1.1)

а относительные – в процентах от значения измеряемой величины



. (1.2)

Погрешности подразделяют на три типа.



Систематическая погрешность при повторении одинаковых наблюдений остается постоянной или изменяется закономерным образом. Если природа и значение ее известны, такая погрешность может быть исключена из конечного результата введением соответствующей поправки (например, учет сдвига нуля шкалы прибора). Главной особенностью систематических погрешностей является возможность их оценки до проведения измерений.

Случайная погрешность проявляется в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений вследствие беспорядочных воздействий весьма большого числа случайных факторов. Очевидно, что оценить величину случайной погрешности до проведения измерений невозможно.

Промах возникает в результате небрежности или ослабления внимания экспериментатора. Промахи легко выявить, поскольку соответствующие результаты заметно отличаются от остальных, например: не в том месте поставлена десятичная запятая при записи числа. Промахи должны быть исключены из ряда наблюдений.
1.3. Оценка величины систематической погрешности

Систематические погрешности являются следствием несовершенства приборов, а также недостатков методики измерения. В связи с этим рассматривают инструментальные погрешности, которые связаны с конструкцией измерительного прибора.

Одна из них своим происхождением имеет точность нанесения делений шкалы. В условиях лабораторного практикума эта погрешность всегда существенно меньше других, и в дальнейшем мы ее учитывать не будем.

Другой тип погрешности связан с принципом действия прибора и выражается в виде приведенной погрешности (класса точности). Классом точности называют относительную погрешность, приведенную к пределу измерений хпр.:

. (1.3)

Класс точности принимает значения 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Обычно ими характеризуются электроизмерительные приборы. Абсолютная погрешность таких приборов постоянна по всей шкале для выбранного предела измерений, ее можно определить по формуле (1.3).



Очень часто при измерениях возникает необходимость оценки долей наименьшего деления шкалы. В некоторых приборах (штангенциркуль, микрометр) для этой цели предусмотрены специальные дополнительные шкалы, называемые нониусами. На тех приборах, где нониусов нет, в связи с приближенной оценкой доли наименьшего деления возникает погрешность отсчета. Для обычных шкал эту погрешность принимают равной половине цены деления прибора С, т.е. . Например: для линейки с миллиметровыми делениями Δхотсч.= 0,5 мм, а с сантиметровыми – 0,5 см. Если шкала прибора зеркальная, то погрешность отсчета берут равной С/5. Погрешность микрометра и штангенциркуля указана на этих приборах.

При использовании цифровых приборов за погрешность отсчета принимают единицу младшего разряда. Для лабораторных секундомеров это, как правило, 0,01 или 0,001 с.

Погрешность отсчета берется в качестве систематической ошибки в том случае, если нет других данных о погрешности прибора, например, нет информации о классе точности.



Величина сдвига нуля шкалы обычно определяется в начале наблюдений и сразу проводится коррекция результатов.

Погрешность метода измерений – это самая сложная по своей природе систематическая погрешность. В механике главной причиной таких погрешностей являются силы трения различного вида, в электричестве – это неучитываемые падения напряжений на внутренних сопротивлениях приборов, контактов и подводящих проводов и т.п. Существование этой погрешности выявляется обычно при несовпадении теоретически рассчитанных и измеренных величин с учетом всех других погрешностей. Это происходит, как правило, при достаточно высокой точности измерений.
1.4. Оценка погрешности при прямых однократных измерениях

При этом типе измерений мы будем оценивать только систематическую погрешность, связанную с видом применяемых приборов. Это либо приведенная погрешность, либо погрешность отсчета. Следовательно, необходимо знать либо класс точности прибора, либо цену деления шкалы измерительного прибора.



Погрешность табличных величин, если она не оговорена в справочнике, берется равной 5 единицам в разряде, следующем за млад-шим. Например, если значение g берется равным 9,8 м/с2, то Δg=0,05 м/c2. Если же взять величину g равной 9,81 м/с2, то Δg=0,005 м/с2.

К погрешности табличной величины сведется и погрешность измерения массы, т.к. она определена по эталонным грузам (как правило, выгравирована на используемых грузах и перегрузках).



Отметим, что при записи значений измеряемых величин нули справа указывают на точность измерений. Например, такая запись длины L=1,00 м предполагает погрешность ΔL = 0,005 м, а при записи L = 1м, подразумевается ΔL = 0,5 м. Аналогично, запись значений масс в виде m=100 г и m=0,1 кг неэквивалентна с точки зрения точности. Правильная запись m=100 г = 0,100 кг. Еще один пример: если х=1,26∙103, то погрешность Δх = 0,005103 = 5, а при записи х=1260 получим погрешность Δх = 0,5, т.е. в десять раз меньше.
1.5. Оценка величины случайной погрешности

Случайные погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно, проявляются в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений, могут отклонять результаты измерения от истинного значения в обе стороны. При обработке результатов эксперимента возникают два вопроса: 1) как найти из полученных значений наиболее вероятное значение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая погрешность измерений? Ответ на эти вопросы дается теорией вероятностей. Согласно этой теории, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса).

Смысл этого закона заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное (и нам неизвестное) значение которой есть хо. Проведя несколько раз измерения, вместо хо получаем набор значений х1, х2, … хi, … xn. Оказывается, что с помощью закона распределения мы хотя и не можем указать точное значение хо, но можем найти, с какой вероятностью Р величина хо окажется в любом интервале значений а<xo<b . Область значений а<xo<b называют доверительным интервалом. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

(1.4)
и равна

. (1.5)

Функция плотности распределения f(x) характеризует число случаев, когда измеряемая величина попала в интервал от x до x+dx (dx- малое изменение измеряемой величины). x – набор значений, которые мы получаем в результате измерения, x их среднее арифметическое, а среднее квадратичное отклонение

, (1.6)

. (1.7)

Рис. 1.1.


Как видно из рисунка, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением вершины x и шириной – расстоянием между точками перегиба. Значение x обычно принимают за ту величину, которую надо было измерить, а σ характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ, тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение. Площадь под кривой от а до b определяет долю случаев, в которых измеряемая величина лежит в этом интервале (т.е. вероятность того, что измеряемая величина попала в интервал от а до b).

Следует подчеркнуть, что x не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, тем выше вероятность попадания истинного значения в этот интервал. Так, например, вероятность отклонения истинного значения от положения вершины гауссовой кривой x не более чем на σ равна 0,683, а не более чем на 0,955.

Бесконечное увеличение числа измерений не дает заметного увеличения точности. Зависимость надежности (вероятности) от числа измерений сложна и не выражается в элементарных функциях. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал Sx, чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую вероятность (надежность) Р.

Стандартный доверительный интервал или среднеквадратичная ошибка среднего согласно выводам математической статистики убывает пропорционально и определяется формулой:

. (1.8)
Таблица 1.1

Таблица коэффициентов Стьюдента t (P,n)


P

N


0,5

0,7

0,9

0,95

0,999

3

0,82

1,3

2,9

4,3

31,6

5

0,74

1,2

2,1

2,8

8,6

7

0,72

1,1

1,9

2,4

6,0

10

0,70

1,1

1,8

2,3

4,8

20

0,69

1,1

1,7

2,1

3,9



0,67

1,0

1,6

2,0

3,3

Чтобы найти величину случайной погрешности, необходимо стандартный доверительный интервал умножить на коэффициент Стьюдента.



Δхсл.= t (P,n) . Sx. (1.9)
1.6. Оценка погрешности при прямых многократных измерениях

Ошибка при этих измерениях складывается из случайной и систематической погрешностей. Выполнив n измерений и записав их результаты в таблицу, вычисляют по (1.6) среднее арифметическое значение измеряемой величины. Затем по формуле (1.8) вычисляют стандартный доверительный интервал, находят по таблице коэффициент Стьюдента в зависимости от требуемой надежности (вероятности) и числа измерений и по формуле (1.9) вычисляют величину случайной погрешности.

Поскольку величину случайной погрешности в некоторой степени регулирует сам экспериментатор, то возникает вопрос, до каких же пределов имеет смысл уменьшать величину этой погрешности? Напомним, что при любых измерениях присутствует систематическая погрешность, связанная с ограниченной точностью используемых приборов. Поэтому оптимальной методике многократных измерений соответствует такая, при которой величина случайной ошибки Δхсл. не превышает величины систематической Δхсист. Этот критерий служит для оценки максимально разумного числа наблюдений N. Дальнейшее повышение точности измерений должно происходить за счет применения более точных приборов.

Полная погрешность при многократных измерениях определяется по формуле:



. (1.10)

Если одна из компонент – Δхсл. или Δхсист. в два и более раза превышает другую, то меньшей пренебрегают. Причина этого в том, что случайная погрешность при малом числе измерений (N<15) по формуле (1.9) определяется приближенно. Погрешность этого приближения составляет порядка 30%. Такая погрешность величины Δх позволяет говорить только об оценке величины погрешности, а при записи значения использовать округление. Если первая значащая цифра равна 1, то округляют до двух значащих цифр, например: Δх=0,013. Если первая значащая цифра больше или равна 2, то округляют до одной (первой) значащей цифры, например: Δх=0,357890,4 или Δх=0,035789 0,04.

Результат измерений (среднее значение x) также округляется до разряда последней значащей цифры в уже округленной погрешности, например: при Δх=0,4 имеем x=1,25781,3. Окончательный результат измерений записывается в виде:

Х = x Δx =1,3 0,4 (размерность измеряемой величины).

1.7. Оценка погрешности косвенных измерений

Результат косвенных измерений вычисляется по расчетной формуле, куда обычно входят как табличные величины, так и величины, полученные при прямых измерениях. Каждая из них имеет свою погрешность, а задача состоит в том, чтобы учесть их влияние на погрешность конечного результата.



Существуют математические приемы, с помощью которых из расчетной формулы выводится функция для вычисления погрешности косвенных измерений. Эти приемы различны в зависимости от вида расчетной формулы, которая может содержать либо только сомножители, либо еще и слагаемые. Чтобы эти действия были более наглядны, возьмем в качестве примера формулу для определения ускорения, а при равноускоренном движении без начальной скорости, которая содержит только сомножители:

, (1.11)

где S – путь, t – соответствующее время.

  1. Логарифмируем расчетную формулу:



  1. Берем дифференциал от левой и правой части. Напомним, что дифференциал какой-либо величины y – это ее изменение dy при бесконечно малом изменении аргумента dx, а производная некоторой функции – это отношение дифференциалов функции и аргумента, т.е. . Отсюда следует, что дифференциал функции равен . Кроме того, производная от функции равна , а дифференциал суммы равен сумме дифференциалов. В результате дифференцирования получаем:

. (1.12)

  1. Заменяем дифференциалы величин на соответствующие абсолютные погрешности, а также все знаки «минус» меняем на знак «плюс», т.е. относительные погрешности только складываются:

. (1.13)

Обычно путь S является однократным измерением (задается самим экспериментатором), а соответствующее время t измеряется несколько раз. Погрешность Δt вычисляется по формуле (1.10), а в знаменатель (1.13) подставляется среднее время t. Получим среднее значение ускорения a, подставив в (1.11) среднее время t и соответствующий ему путь S. Максимальная абсолютная погрешность ускорения определяется из (1.13):

. (1.14)

Формула (1.14) указывает на оптимальную методику проведения измерений, т.е. на достижение максимальной точности определения ускорения. Для этого время надо измерять точнее, чем путь, т.к. отно-сительная погрешность времени входит в (1.14) с коэффициентом 2.



Если расчетная формула содержит как сомножители, так и слагаемые, то вычисляется сначала максимальная абсолютная погрешность косвенного измерения. Используем в качестве примера формулу для измерения потенциальной энергии шарика массой m, падающего с высоты Н1 до отметки Н2:

W = mg (H1 – H2), (1.15)

где g – ускорение свободного падения.

Для получения формулы вычисления ошибки измерений проделаем следующие операции:



  1. Возьмем дифференциал от расчетной формулы:

dW = g (H1H2) dm + m (H1H2) dg + mg (dH1 dH2). (1.16)

  1. Заменим дифференциалы на соответствующие абсолютные погрешности, а также знаки «минус» между дифференциалами на знаки «плюс». Получаем:

ΔW = g (H1 H2)Δm + m (H1 H2)Δg + mgH1H2). (1.17)

  1. Делим левую и правую части на расчетную формулу. Поделим выражение (1.17) на (1.15), получим относительную погрешность измерения:

. (1.18)

Из (1.15) следует, что с максимальной точностью следует измерять высоты Н1 и Н2, т.к. относительная погрешность есть результат деления на малую величину разности (Н1 – Н2). В этой формуле величины m, Н1, Н2 являются результатами однократных измерений, а ускорение свободного падения g – табличной величиной.

Экспериментальная часть
Упражнение 1. Определение погрешности прямого многократного измерения времени
Примером прямых многократных измерений может служить массив измерений времени лабораторным секундомером. Поскольку цена деления секундомера 0,01 с, а реакция человека составляет десятые доли секунды, то при попытках остановить секундомер точно на заданном значении мы получим набор случайно распределенных около этого значения результатов.
Проведение измерений

  1. Ознакомиться с работой секундомера и подключить его к сети.

  2. В качестве тренировки попытаться несколько раз установить на секундомере значение 1,00 с или какое-либо другое, указанное преподавателем.

  3. Проделать серию измерений (5 – 7) раз с целью установления на секундомере указанного значения времени.

  4. Записать результаты измерений в таблицу 1.2.


Вычисление погрешности

Для вычисления погрешности прямых многократных измерений предлагается следующий порядок действий.



  1. Вычислить среднее значение по формуле (1.6).

  2. Найти погрешности отдельных измерений: .

  3. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений:



  1. Определить среднеквадратичную погрешность среднего по формуле (1.8).

  2. Для данного числа измерений и доверительной вероятности найти в таблице 1.1 значение коэффициента Стьюдента .

  3. Вычислить случайную погрешность по формуле (1.9).

  4. Записать значение систематической погрешности (погрешности прибора) .

  5. Вычислить полную погрешность измерений по формуле (1.10).

  6. Оценить относительную погрешность по формуле (1.2).

Таблица 1.2























1

2

3



4

5

































Упражнение 2. Определение погрешности косвенного измерения удельного сопротивления
В качестве примера косвенных измерений определим удельное сопротивление хромоникелевого провода с помощью прибора ФРМ-01. (Подробное описание этого прибора можно получить у лаборанта).

Удельное сопротивление найдем путем измерения активного сопротивления R, т.к.



, (1.19)

где длина провода, площадь поперечного сечения провода.

Отсюда получим:

, (1.20)

где диаметр провода.

Для проведения измерений используем режим точного измерения тока.

Рис. 1.2. Схема измерений в режиме точного измерения тока

В этой схеме показания вольтметра включают в себя падения напряжения как на измеряемом сопротивлении R, так и на внутреннем сопротивлении амперметра

. (1.21)

Отсюда имеем:



. (1.22)

следующая страница >>