Название работы	Кол-во страниц	Размер
Программа вступительного экзамена по специальной дисциплине	1	135.04kb.
Скалярное произведение векторов	1	105.08kb.
Производная и дифференциал высших порядков	1	43.21kb.
Некоторые виды линейных преобразований евклидовых пространств	1	137.58kb.
Рабочая учебная программа По дисциплине: Теоретические основы беспроводной...	1	185.69kb.
Tв по аналогии можно сравнить с пройденным путем. В физике производная...	1	51.93kb.
Поле (109) Дата документа	1	16.17kb.
1 Теоретические основы учета и анализа товарных операций в организации	1	43.25kb.
Ковалева А. И., Луков В. А. Социология молодежи: Теоретические вопросы	1	64.26kb.
Вопросы к междисциплинарному экзамену по направлению «Государственное...	1	54.48kb.
«Экономика и управление народным хозяйством	1	41.45kb.
1. Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями	1	9.27kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

§ 8.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Скалярное поле. Производная по направлению.
   
2. 
   Градиент, его свойства. Инвариантное определение градиента.
   
3. 
   Векторное поле. Поток векторного поля через поверх­ность, его физический смысл.
   
4. 
   Формула Остроградского.
   
5. 
   Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Инвариантное определение дивергенции. Свойства дивергенции.
   
6. 
   Соленоидальное поле, его основные свойства.
   
7. 
   Линейный интеграл в векторном поле, его свойства и фи­зический смысл.
   
8. 
   Циркуляция векторного поля, ее гидродинамический смысл.
   
9. 
   Формула Стокса.
   

10. 
    Ротор векторного поля, его свойства. Инвариантное опре­деление ротора.
    
11. 
    Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.
    
12. 
    Потенциальное поле. Условия потенциальности.
    

§ 8.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. 
   Найти производную скалярного поля по направлению градиента скалярного поля
   
2. 
   Найти градиент скалярного поля , где — по­стоянный вектор, а — радиус-вектор. Каковы поверхности уровня этого поля и как они расположены по отношению к век­тору ?
   
3. 
   Доказать, что если 5 — замкнутая кусочно-гладкая по­верхность и — ненулевой постоянный вектор, то
   

где —вектор, нормальный к поверхности .

4. 
   Доказать формулу
   

где ; — поверхность, ограничивающая объем ; — орт внешней нормали к поверхности . Установить условия применимости формулы.

5. 
   Доказать, что если функция удовлетворяет уравнению Лапласа
   

то

где — производная по направлению нормали к кусочно-гладкой замкнутой поверхности .

6. 
   Доказать, что если функция является многочле­ном второй степени и — кусочно-гладкая замкнутая поверх­ность, то интеграл пропорционален объему, ограни­ченному поверхностью .
   
7. 
   Пусть , где — линей­ные функции от , и пусть — замкнутая кусоч­но-гладкая кривая, расположенная в некоторой плоскости. Доказать, что если циркуляция отлична от нуля,
   то она пропорциональна площади фигуры, ограниченной контуром .
   
8. 
   Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, проходящей через начало координат. Вектор угловой скорости . Определить ротор и дивергенцию поля линейных скоростей точек тела (здесь — радиус-вектор).
   

§ 8.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора .

Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке .

Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле .

Задача 4. Найти поток векторного поля через часть поверхности , вырезаемую плоскостями (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

Найти поток векторного поля через поверхности , вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью .

Задача 6. Найти поток векторного поля через часть плоскости , расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью

Задача 7. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Задача 8. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).